บทที่ 16 เรขาคณิตวิเคราะห์และระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

บทที่ 16 เรขาคณิตวิเคราะห์และระบบพิกัดคาร์ทีเซียน

กอร์ดลืมตาขึ้น นวดขมับโดยไม่รู้ตัว

การสร้างแบบจำลองเวทมนตร์นั้นใช้พลังจิตอย่างมาก

วิชาทำสมาธิสำหรับศิษย์ฝึกหัดของเขาฝึกฝนถึงขั้นห้ากลีบดอกบัวแล้ว พลังจิตระดับนี้เพียงพอให้เขาสร้างแบบจำลองของคาถากลได้สำเร็จ เพียงแต่ต้องออกแรงหน่อย

หากสามารถฝึกฝนจนถึงขั้นสมบูรณ์สิบหกกลีบดอกบัวได้ ด้วยความแข็งแกร่งของพลังจิตระดับนั้น การไปสร้างแบบจำลองเวทมนตร์ของเวทมนตร์ระดับ 0 อีกครั้งก็จะง่ายดายขึ้นมาก

ความยากในการสร้างแบบจำลองเวทมนตร์ หนึ่งคือต้องการความแม่นยำ แม่นยำในระดับที่ผิดพลาดเพียงเล็กน้อยก็คลาดเคลื่อนไปไกลลิบ สองคือต้องการให้จอมเวทมีพลังจิตเพียงพอที่จะใช้ไปกับการลองผิดลองถูกครั้งแล้วครั้งเล่า

ด้วยพลังจิตในปัจจุบันของกอร์ด การพยายามสร้างแบบจำลองเวทมนตร์ของสาดกรด ทุกครั้งที่ล้มเหลว จะรู้สึกตึงๆ ที่ศีรษะ อ่อนเพลียเหนื่อยล้า

อย่างมากที่สุดล้มเหลวสักสามครั้ง สมองก็จะเริ่มปวด พลังจิตถูกใช้ไปมากเกินไป ต้องพักผ่อนรอให้พลังจิตฟื้นฟู ไม่สามารถสร้างแบบจำลองเวทมนตร์ต่อไปได้อีก

นี่คือข้อเสียของการมีพลังจิตไม่แข็งแกร่งพอ หากให้จอมเวทระดับหนึ่งมาสร้างแบบจำลองเวทมนตร์ของเวทมนตร์ระดับ 0 ไม่ต้องพูดถึงประสิทธิภาพที่สูงกว่ากอร์ดสิบกว่าเท่า ต่อให้ล้มเหลว คนเขาล้มเหลววันละหลายสิบครั้งก็ไม่ใช่ปัญหา

"การสร้างแบบจำลองเวทมนตร์ไม่ธรรมดาจริงๆ ไม่น่าแปลกใจที่ร่างเดิมต้องใช้เวลากว่าหนึ่งปีในการเชี่ยวชาญคาถากลสองบทคือ 【วิชาซ่อมแซม】 และ 【หัตถ์จอมเวท】" กอร์ดพึมพำกับตัวเอง

แม้แต่การเชี่ยวชาญเวทมนตร์ระดับ 0 ยังลำบากขนาดนี้ พอจะจินตนาการได้ว่าการจะกลายเป็นจอมเวทที่แข็งแกร่งนั้นต้องใช้ความพยายามมากเพียงใด

แต่เขาก็ไม่ได้บ่นอะไร

ใครๆ ก็ว่าจอมเวทคือท่านปู่เวท ท่านปู่เวท ท่านปู่เวท หากไม่ยอมเป็นหลานก่อนแล้วจะเป็นปู่ได้อย่างไร?

ความล้มเหลวคือมารดาแห่งความสำเร็จ

กอร์ดหลับตาทบทวนการสร้างที่ล้มเหลวเมื่อครู่ ในไม่ช้าก็พบสาเหตุของปัญหา —— ขณะที่กำลังจดจ่อกับการควบคุมการเคลื่อนที่ของดวงดาวเล็กๆ ดวงที่สาม ตำแหน่งของดวงดาวเล็กๆ ดวงที่สองเกิดการเคลื่อนที่เล็กน้อย...

ดึงผมเส้นเดียวสะเทือนทั้งร่าง

ในสถานการณ์ที่เส้นทางดาวเส้นที่สองซึ่งเชื่อมต่อดวงดาวเล็กๆ ดวงที่สองและดวงที่สามได้ยืดออกไปแล้ว หากตำแหน่งของดวงดาวเล็กๆ ดวงที่สองเกิดการเคลื่อนที่แม้เพียงเล็กน้อย แบบจำลองเวทมนตร์ทั้งหมดก็จะพังทลายลงโดยธรรมชาติ

นี่คือความยากอีกประการหนึ่งของการสร้างแบบจำลองเวทมนตร์: ต้องไม่มีข้อผิดพลาดแม้แต่น้อย มิฉะนั้นทุกอย่างต้องเริ่มต้นใหม่ ไม่สามารถแก้ไขเฉพาะจุดที่ผิดพลาดได้...

"อัตราความผิดพลาดที่ยอมรับได้นี่มันต่ำเกินไปแล้ว" กอร์ดพึมพำกับตัวเอง คิดในใจโดยไม่รู้ตัว: "จะปรับปรุงกระบวนการสร้างแบบจำลองเวทมนตร์ให้ดีขึ้นได้ไหมนะ..."

หากความคิดของเขาในตอนนี้ถูกจอมเวทคนอื่นรู้เข้า ย่อมต้องถูกหัวเราะเยาะว่าไม่รู้จักฟ้าสูงแผ่นดินต่ำอย่างแน่นอน

ไม่ต้องพูดถึงว่าวิธีการสร้างแบบจำลองเวทมนตร์ที่สืบทอดกันมาไม่รู้กี่ปีต่อกี่ปีนี้จะเป็นไปได้อย่างไรที่จะยังมีช่องให้ปรับปรุง ต่อให้มี ก็ใช่ว่าจะเป็นสิ่งที่ศิษย์ฝึกหัดจอมเวทคนหนึ่งจะคิดออกได้หรือ?

แต่กอร์ดหามีความกังวลจิปาถะเหล่านี้ไม่

ในโลกของคณิตศาสตร์ หากวิธีหนึ่งใช้ไม่ได้ผลหรือทำได้ยาก การเปลี่ยนแนวคิดเป็นเรื่องปกติธรรมดามาก

จะเป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดตำแหน่งของดวงดาวเล็กๆ ทั้งหมดก่อน แล้วค่อยเชื่อมต่อเส้นทางดาว?

ความคิดนี้พลันผุดขึ้นมาในสมองของกอร์ด

หลังจากความคิดนี้ปรากฏขึ้น เขาก็ราวกับตื่นรู้โดยพลัน กระจ่างแจ้งในบัดดล ยิ่งคิดยิ่งรู้สึกว่าเป็นไปได้ ถึงกับรู้สึกว่านี่ต่างหากคือวิธีการสร้างแบบจำลองเวทมนตร์ที่ถูกต้อง

——เช่นนี้แล้ว ต่อให้ในระหว่างกระบวนการสร้างแบบจำลองเวทมนตร์ มีดวงดาวเล็กๆ ดวงใดเคลื่อนที่ออกจากตำแหน่งเดิม ก็จะไม่ทำให้แบบจำลองเวทมนตร์ทั้งหมดพังทลายลง ต้องเริ่มต้นใหม่ทั้งหมด เพียงแค่ต้องปรับตำแหน่งของดวงดาวเล็กๆ ดวงนั้นให้ทันท่วงทีก็พอ

เมื่อเทียบกับวิธีการสร้างแบบจำลองเวทมนตร์แบบดั้งเดิมแล้ว ประสิทธิภาพจะเพิ่มขึ้นไม่ใช่แค่เพียงเล็กน้อยเสียหน่อยหรือ?

นั่นมันคือความแตกต่างระหว่างลูกคิดกับคอมพิวเตอร์ชัดๆ

พลังในการลงมือทำของกอร์ดแข็งแกร่งมาโดยตลอด มีความคิดก็ลงมือทำ

สิ่งแรกที่ต้องแก้ไขคือ จะกำหนดตำแหน่งของดวงดาวเล็กๆ แต่ละดวงได้อย่างไร

กระบวนการสร้างแบบจำลองเวทมนตร์ที่บันทึกไว้ในตำราเวทมนตร์ทุกชุดล้วนเป็นการเชื่อมต่อเส้นทางดาวไปพร้อมๆ กับการกำหนดตำแหน่งของดวงดาวเล็กๆ แต่ละดวงผ่านการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ ไม่ได้กล่าวถึงวิธีการกำหนดตำแหน่งของดวงดาวเล็กๆ โดยไม่ต้องเชื่อมต่อเส้นทางดาว

แต่สำหรับกอร์ดแล้ว นี่ไม่นับเป็นปัญหาเลย ข้อมูลที่มีอยู่ก็เพียงพอต่อการใช้งานแล้ว —— ก็แค่เรขาคณิตวิเคราะห์ง่ายๆ ไม่ใช่รึ

สร้างระบบพิกัดคาร์ทีเซียนขึ้นมาโดยตรง จากนั้นแยกส่วนประกอบพิกัดเวกเตอร์ของดวงดาวเล็กๆ แต่ละดวงออกมา ก็จะสามารถกำหนดตำแหน่งของดวงดาวเล็กๆ แต่ละดวงได้แล้วไม่ใช่หรือ?

อันดับแรก ต้องการจุดกำเนิดหนึ่งจุด

จุดกำเนิดคือจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ทั้งหมด

ต้องกำหนดจุดกำเนิดได้ก่อน จึงจะมีวิธีระบุความยาวระยะทาง แล้วจึงกำหนดพิกัดเวกเตอร์ของจุดเชื่อมต่อแต่ละจุดได้

ในทะเลดาวเวทมนตร์นอกจากดวงดาวเล็กๆ และแบบจำลองเวทมนตร์แล้วไม่มีวัตถุอื่นใดอยู่ แต่ดวงดาวเล็กๆ กลับเคลื่อนที่อยู่ตลอดเวลา เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่วัตถุอ้างอิงคงที่ ไม่สามารถใช้เป็นจุดกำเนิดได้

แบบจำลองเวทมนตร์แม้จะไม่เคลื่อนที่ แต่มันเป็นแบบจำลองที่ประกอบขึ้นจากดวงดาวเล็กๆ หลายดวง แล้วจะใช้เป็นวัตถุอ้างอิงได้อย่างไร?

หากใช้ดวงดาวเล็กๆ ดวงหนึ่งในแบบจำลองเวทมนตร์เป็นจุดกำเนิด ก็จะเกิดสถานการณ์ที่จุดเชื่อมต่อของแบบจำลองเวทมนตร์สองอันซ้อนทับกัน หรือเส้นทางดาวตัดกันรบกวนกันได้

แต่เรื่องนี้ก็จัดการได้ง่าย ถือเอาตำแหน่งที่ตั้งของดวงดาวเล็กๆ ดวงแรกเป็นจุดกำเนิดก็พอแล้ว

ใช้จุดกำเนิดเป็นศูนย์กลาง สร้างระบบพิกัด xyz ที่คลาสสิกที่สุดขึ้นมา...

แล้วใช้ชุดสามสิ่งอันดับหนึ่งชุดกำหนดตำแหน่งจุดเชื่อมต่อแต่ละจุดของแบบจำลองเวทมนตร์

ชุดสามสิ่งอันดับประกอบด้วยตัวเลขสามตัว ตัวเลขทั้งสามนี้ทำหน้าที่ชี้แนะว่าจะเดินทางจากจุดกำเนิด (จุดเริ่มต้นเวกเตอร์) ไปยังปลายของมัน (จุดสิ้นสุดเวกเตอร์) ได้อย่างไร

ตัวเลขตัวแรกแทนระยะทางที่เดินไปตามแกน x ค่าบวกแทนการเคลื่อนที่ไปทางขวา ค่าลบแทนการเคลื่อนที่ไปทางซ้าย

ตัวเลขตัวที่สองแทนระยะทางที่เดินต่อไปในทิศทางขนานกับแกน y

ตัวเลขตัวที่สามแทนระยะทางที่เดินไปตามทิศทางแกน z

เช่นเดียวกัน ผ่านทิศทางการเคลื่อนที่ของดวงดาวเล็กๆ ที่บันทึกไว้ในตำราเวทมนตร์ ก็สามารถคำนวณย้อนกลับพิกัดของดวงดาวเล็กๆ แต่ละดวงได้

กอร์ดลุกขึ้น หยิบดินสอถ่านแท่งหนึ่งจากชั้นวางของข้างๆ เริ่มบันทึกลงบนพื้นที่ว่างของตำราเวทมนตร์โดยตรง

ดวงดาวเล็กๆ ดวงแรกคือจุดกำเนิด พิกัดบันทึกเป็น (0, 0, 0)

"เดินหน้าหนึ่ง, ขวาหนึ่งเศษหนึ่งส่วนสาม, ขึ้นเศษหนึ่งส่วนสี่"

ซ้าย-ขวาคือแกน x, หน้า-หลังคือแกน y, บน-ล่างคือแกน z

พิกัดของดวงดาวเล็กๆ ดวงที่สองบันทึกเป็น (4/3, 1, 1/4)

"เดินหน้าครึ่งหนึ่ง, ขวาสองส่วนสาม, ลงครึ่งหนึ่ง"

ดวงดาวเล็กๆ ดวงที่สามเคลื่อนที่โดยใช้ดวงดาวเล็กๆ ดวงที่สองเป็นจุดเริ่มต้น ไม่สามารถบันทึกโดยเทียบกับจุดกำเนิดโดยตรงได้ แต่ก็ไม่ใช่ปัญหาใหญ่อะไร —— ก็แค่การคำนวณบวกเวกเตอร์ง่ายๆ ไม่ใช่รึ

ผ่านการคำนวณ ก็สามารถหาพิกัดของดวงดาวเล็กๆ ดวงที่สามได้คือ (2, 3/2, -1/4)

คำนวณต่อไปตามลำดับเช่นนี้

ในไม่ช้า กอร์ดก็แยกส่วนแบบจำลองเวทมนตร์ของสาดกรดออกเป็นแกนพิกัด xyz หนึ่งแกนและพิกัดเวกเตอร์เก้าชุดซึ่งรวมจุดกำเนิดด้วย

จากนั้น กอร์ดมองชุดสามสิ่งอันดับเก้าชุดบนกระดาษด้วยแววตาเป็นประกาย เริ่มพยายามจดจำมัน

เห็นได้ชัดว่า ชุดสามสิ่งอันดับเก้าชุดนั้นง่ายกว่าคำบรรยายอันซับซ้อนของตำราเวทมนตร์มากนัก ไม่ต้องพูดถึงว่ากอร์ดมีความไวต่อตัวเลขสูงมากโดยธรรมชาติอยู่แล้ว

เพียงไม่กี่นาที เขาก็จดจำพิกัดทั้งเก้านี้ไว้ในใจได้อย่างแม่นยำ

"ลองดู"

ในเมื่องานเบื้องต้นเสร็จสิ้นแล้ว กอร์ดพูดแล้วทำทันที เริ่มลงมือลองทันที

(จบตอน)